برای رسم توابع داده شده در بازه \([0, 2\pi]\):
### تابع (الف): \(y = 1 + \frac{1}{2} \sin x\)
1. **دامنه و برد**:
- دامنه: \([0, 2\pi]\)
- برد: تابع اصلی \(\sin x\) بین \([-1, 1]\) است؛ بنابراین \(\frac{1}{2} \sin x\) بین \([-0.5, 0.5]\) تغییر می‌کند. پس \(1 + \frac{1}{2} \sin x\) بین \([0.5, 1.5]\) خواهد بود.
2. **نقاط مهم**:
- \(\sin 0 = 0\) پس \(y = 1\)
- \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\) پس \(y = 1.5\)
- \(\sin \pi = 0\) پس \(y = 1\)
- \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1\) پس \(y = 0.5\)
- \(\sin 2\pi = 0\) پس \(y = 1\)
3. **رسم**: نمودار یک موج سینوسی انتقال یافته به بالای واحد خواهد بود، با دامنه نصف و وجود نقاط حداکثر و حداقل در بالا و پایین نقاط نوسان سینوس اصلی.
### تابع (ب): \(y = -\cos(x + \frac{\pi}{3})\)
1. **دامنه و برد**:
- دامنه: \([0, 2\pi]\)
- برد: \([−1, 1]\) زیرا \(\cos\) بین \([-1, 1]\) است و علامت منفی باعث انعکاس روی x خواهد شد.
2. **نقاط مهم**:
- فاز تغییر: \(-\pi/3\) یعنی نمودار به سمت چپ \(\pi/3\) واحد حرکت کرده است.
- \(\cos 0 = 1\) اما با جابه‌جایی: \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\) و به دلیل علامت منفی تابع، \(y = -\frac{1}{2}\)
- دیگر نقاط مهم که می‌توانید محاسبه کنید تا بتوانید رسم دقیق‌تری داشته باشید: \(\cos (\frac{\pi}{3} + x)\) در جاهای مختلف از قبیل \(x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi\), و غیره.
3. **رسم**: نمودار یک موج کسینوسی که ابتدا پایین‌ترین نقطه و سپس بالا حرکت می‌کند، به دلیل انعکاس دامنه کسینوس اصلی.
با این اطلاعات، می‌توانید نمودار را رسم کنید. توجه کنید که دوره تناوب و دامنه به تغییرات اعمال شده بر \(\sin\) و \(\cos\) تاثیر دارد.
